Giải tích Ví dụ

$f (x) = \csc (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - \csc (x) \cot (x)$

Bước 1.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - \cot (x) \csc (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cot (x) \csc (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Bước 2.4

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Bước 2.5

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Bước 2.8

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Bước 2.9

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Bước 2.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Bước 2.11

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Bước 2.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Bước 2.12.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Bước 2.12.2.2

Nhân $\csc (x)$ với $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Bước 2.12.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 \csc^{3} (x)$

Bước 2.12.2.4

Nhân $\csc^{3} (x)$ với $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Bước 2.12.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cot^{2} (x)$ và $g (x) = \csc (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.4

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.5

Nhân $\cot^{2} (x)$ với $\cot (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Di chuyển $\cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.5.2

Nhân $\cot (x)$ với $\cot^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f''' (x) = \cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f''' (x) = {\cot (x)}^{1 + 2} (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.7

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) (\csc (x) \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.2.9

Cộng $1$ và $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\csc (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Bước 3.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Bước 3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\csc (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Bước 3.3.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Bước 3.3.4

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 (\csc (x) \csc^{2} (x)) \cot (x)$

Bước 3.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x)$

Bước 3.3.6

Cộng $1$ và $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Sắp xếp lại các thừa số của $- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \csc^{3} (x) \cot (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Bước 3.4.1.2

Trừ $3 \csc^{3} (x) \cot (x)$ khỏi $- 2 \csc^{3} (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Bước 3.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = - \cot^{3} (x) \csc (x) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \cot^{3} (x) \csc (x) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \cot^{3} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- \cot^{3} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \cot^{3} (x) \csc (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cot^{3} (x) \csc (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cot^{3} (x) \csc (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cot^{3} (x)$ và $g (x) = \csc (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.3

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{3}) \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.5

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.6

Nhân $\cot^{3} (x)$ với $\cot (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Di chuyển $\cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot (x) \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.6.2

Nhân $\cot (x)$ với $\cot^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot (x) \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = - ({\cot (x)}^{1 + 3} (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.6.3

Cộng $1$ và $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.7

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.8

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) (\csc (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.2.10

Cộng $1$ và $2$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x) \cot (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \csc^{3} (x)$ và $g (x) = \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x)))$

Bước 4.3.3

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x)))$

Bước 4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\csc (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

Bước 4.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

Bước 4.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\csc (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

Bước 4.3.5

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Bước 4.3.6

Nhân $\csc^{3} (x)$ với $\csc^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Di chuyển $\csc^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{2} (x) \csc^{3} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Bước 4.3.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 ({\csc (x)}^{2 + 3} \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Bước 4.3.6.3

Cộng $2$ và $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{5} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Bước 4.3.7

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\csc^{5} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- 1 \cdot \csc^{5} (x) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Bước 4.3.8

Viết lại $- 1 \csc^{5} (x)$ ở dạng $- \csc^{5} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Bước 4.3.9

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x))))$

Bước 4.3.10

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 (\csc (x) \csc^{2} (x)) \cot (x)))$

Bước 4.3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x)))$

Bước 4.3.12

Cộng $1$ và $2$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 \csc^{3} (x) \cot (x)))$

Bước 4.3.13

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) (\cot (x) \cot (x)))$

Bước 4.3.14

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) (\cot (x) \cot (x)))$

Bước 4.3.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Bước 4.3.16

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Bước 4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Bước 4.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\cot^{4} (x) (\csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Bước 4.4.3.2

Nhân $\cot^{4} (x)$ với $1$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Bước 4.4.3.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 (\cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Bước 4.4.3.4

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc^{5} (x) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Bước 4.4.3.5

Nhân $- 3$ với $- 5$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc^{5} (x) + 15 (\csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Bước 4.4.3.6

Sắp xếp lại các thừa số của $3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x) + 15 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$

Bước 4.4.3.7

Cộng $3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$ và $15 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $\cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$ .

$\cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$