Giải tích Ví dụ

\frac{x}{x^{2} - 1}

$\frac{x}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó

f (x) = x

$f (x) = x$ và

g (x) = x^{2} - 1

$g (x) = x^{2} - 1$ .

\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Nhân

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ với

1

$1$ .

\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 2

$n = 2$ .

\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì

- 1

$- 1$ là hằng số đối với

x

$x$ , đạo hàm của

- 1

$- 1$ đối với

x

$x$ là

0

$0$ .

\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng

2 x

$2 x$ và

0

$0$ .

\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Nhân

2

$2$ với

- 1

$- 1$ .

\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3

Nâng

x

$x$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4

Nâng

x

$x$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 6

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 7

Trừ

2 x^{2}

$2 x^{2}$ khỏi

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$