Giải tích Ví dụ

\sqrt{x^{2} + 4}

$\sqrt{x^{2} + 4}$

Bước 1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{x^{2} + 4}

$\sqrt{x^{2} + 4}$ ở dạng

{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}

${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ trong đó

f (x) = x^{\frac{1}{2}}

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và

g (x) = x^{2} + 4

$g (x) = x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

u

$u$ ở dạng

x^{2} + 4

$x^{2} + 4$ .

\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ trong đó

n = \frac{1}{2}

$n = \frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

u

$u$ với

x^{2} + 4

$x^{2} + 4$ .

\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 3

Để viết

- 1

$- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 4

Kết hợp

- 1

$- 1$ và

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

2

$2$ .

\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 6.2

Trừ

2

$2$ khỏi

1

$1$ .

\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 7.2

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}

${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 7.3

Di chuyển

{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}

${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

x^{2} + 4

$x^{2} + 4$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 2

$n = 2$ .

\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4])

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 10

Vì

4

$4$ là hằng số đối với

x

$x$ , đạo hàm của

4

$4$ đối với

x

$x$ là

0

$0$ .

\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Bước 11

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng

2 x

$2 x$ và

0

$0$ .

\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Bước 11.2

Kết hợp

$2$ và

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 11.3

Kết hợp

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ và

$x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$