Giải tích Ví dụ

\sqrt{4 - x^{2}}

$\sqrt{4 - x^{2}}$

Bước 1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{4 - x^{2}}

$\sqrt{4 - x^{2}}$ ở dạng

{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ trong đó

f (x) = x^{\frac{1}{2}}

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và

g (x) = 4 - x^{2}

$g (x) = 4 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

u

$u$ ở dạng

4 - x^{2}

$4 - x^{2}$ .

\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ trong đó

n = \frac{1}{2}

$n = \frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

u

$u$ với

4 - x^{2}

$4 - x^{2}$ .

\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 3

Để viết

- 1

$- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 4

Kết hợp

- 1

$- 1$ và

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

2

$2$ .

\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 6.2

Trừ

2

$2$ khỏi

1

$1$ .

\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 7.2

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 7.3

Di chuyển

{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

4 - x^{2}

$4 - x^{2}$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 9

Vì

4

$4$ là hằng số đối với

x

$x$ , đạo hàm của

4

$4$ đối với

x

$x$ là

0

$0$ .

\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 10

Cộng

0

$0$ và

\frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 11

Vì

- 1

$- 1$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

- x^{2}

$- x^{2}$ đối với

x

$x$ là

- \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 2

$n = 2$ .

\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Bước 13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân

2

$2$ với

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Bước 13.2

Kết hợp

- 2

$- 2$ và

\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 13.3

Kết hợp

\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và

x

$x$ .

\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.4

Đưa

2

$2$ ra ngoài

- 2 x

$- 2 x$ .

\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa

2

$2$ ra ngoài

2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

$2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}

$\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.3

Viết lại biểu thức.

\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$