Giải tích Ví dụ

\int x^{3} ln (x) d x

$\int x^{3} \ln (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

u = ln (x)

$u = \ln (x)$ và

d v = x^{3}

$d v = x^{3}$ .

ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ và

x^{4}

$x^{4}$ .

ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp

ln (x)

$\ln (x)$ và

\frac{x^{4}}{4}

$\frac{x^{4}}{4}$ .

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ không đổi đối với

x

$x$ , hãy di chuyển

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp

x^{4}

$x^{4}$ và

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của

x^{4}

$x^{4}$ và

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa

x

$x$ ra ngoài

x^{4}

$x^{4}$ .

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng

x

$x$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Bước 4.2.2.2

Đưa

x

$x$ ra ngoài

x^{1}

$x^{1}$ .

\frac{ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Bước 4.2.2.5

Chia

$x^{3}$ cho

$1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$x^{3}$ đối với

$x$ là

$\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ ở dạng

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp

$\frac{1}{4}$ và

$\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 6.2.2

Kết hợp

$\frac{\ln (x)}{4}$ và

$x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 6.2.3

Nhân

$\frac{1}{4}$ với

$\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Bước 6.2.4

Nhân

$4$ với

$4$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$