Giải tích Ví dụ

\int x sin (3 x) d x

$\int x \sin (3 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

$u = x$ và

$d v = \sin (3 x)$ .

$x (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp

$\cos (3 x)$ và

$\frac{1}{3}$ .

$x (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp

$x$ và

$\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

Bước 3

Vì

$- \frac{1}{3}$ không đổi đối với

$x$ , hãy di chuyển

$- \frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân

$- 1$ với

$- 1$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

Bước 4.2

Nhân

$\frac{1}{3}$ với

$1$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x$

Bước 5

Giả sử

$u = 3 x$ . Sau đó

$d u = 3 d x$ , nên

$\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng

$u$ và

$d$

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt

$u = 3 x$ . Tìm

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm

$3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.1.2

Vì

$3$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$3 x$ đối với

$x$ là

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân

$3$ với

$1$ .

$3$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

$u$ và

$d u$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 6

Kết hợp

$\cos (u)$ và

$\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Bước 7

Vì

$\frac{1}{3}$ không đổi đối với

$u$ , hãy di chuyển

$\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân

$\frac{1}{3}$ với

$\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u) d u$

Bước 8.2

Nhân

$3$ với

$3$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u$

Bước 9

Tích phân của

$\cos (u)$ đối với

$u$ là

$\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)$ ở dạng

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp

$x$ và

$\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

Bước 10.2.2

Kết hợp

$\cos (3 x)$ và

$\frac{x}{3}$ .

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số trong

$\frac{\cos (3 x) x}{3}$ .

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$