Giải tích Ví dụ

\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ . Sau đó

d u = - 2 x d x

$d u = - 2 x d x$ , nên

- \frac{1}{2} d u = x d x

$- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt

u = 1 - x^{2}

$u = 1 - x^{2}$ . Tìm

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm

1 - x^{2}

$1 - x^{2}$ .

\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

1 - x^{2}

$1 - x^{2}$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì

1

$1$ là hằng số đối với

x

$x$ , đạo hàm của

1

$1$ đối với

x

$x$ là

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính

\frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì

- 1

$- 1$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

- x^{2}

$- x^{2}$ đối với

x

$x$ là

- \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 2

$n = 2$ .

0 - (2 x)

$0 - (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân

2

$2$ với

- 1

$- 1$ .

0 - 2 x

$0 - 2 x$

0 - 2 x

$0 - 2 x$

Bước 1.1.4

Trừ

2 x

$2 x$ khỏi

0

$0$ .

- 2 x

$- 2 x$

- 2 x

$- 2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ và

d u

$d u$ .

\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.2

Nhân

\frac{1}{\sqrt{u}}

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 2.3

Di chuyển

2

$2$ sang phía bên trái của

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ .

\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u

$\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u

$\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì

- 1

$- 1$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

- 1

$- 1$ ra khỏi tích phân.

- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u

$- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 4

Vì

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ ở dạng

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 5.2

Di chuyển

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa

- 1

$- 1$ .

- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u

$- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong

{(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 5.3.2

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

- 1

$- 1$ .

- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

u^{- \frac{1}{2}}

$u^{- \frac{1}{2}}$ đối với

u

$u$ là

2 u^{\frac{1}{2}}

$2 u^{\frac{1}{2}}$ .

- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại

- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng

- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân

2

$2$ với

- 1

$- 1$ .

- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.2

Kết hợp

- 2

$- 2$ và

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của

- 2

$- 2$ và

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Đưa

2

$2$ ra ngoài

- 2

$- 2$ .

\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Đưa

2

$2$ ra ngoài

2

$2$ .

\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.4

Chia

$- 1$ cho

$1$ .

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$