Giải tích Ví dụ

$y = \sin (x y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Bước 3.5

Nhân $y$ với $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Bước 3.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Bước 5.2

Trừ $x y' \cos (x y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - x y' \cos (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ cho $1 - x \cos (x y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ cho $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x \cos (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$