Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} x \sin (x^{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 1^{2}$

Bước 1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = 2^{2}$

Bước 1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{4} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sin (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{1}^{4}$

Bước 5

Tính $- \cos (u)$ tại $4$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (4) + \cos (1))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính $\cos (4)$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.65364362 + \cos (1))$

Bước 6.1.2

Nhân $- 1$ với $- 0.65364362$ .

$\frac{1}{2} (0.65364362 + \cos (1))$

Bước 6.1.3

Tính $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (0.65364362 + 0.5403023)$

Bước 6.2

Cộng $0.65364362$ và $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.19394592$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $1.19394592$ .

$\frac{1.19394592}{2}$

Bước 6.4

Chia $1.19394592$ cho $2$ .

$0.59697296$