Giải tích Ví dụ

\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

Bước 1

Giả sử

u = \frac{1}{x^{4}}

$u = \frac{1}{x^{4}}$ . Sau đó

d u = - \frac{4}{x^{5}} d x

$d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ , nên

1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x

$1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt

u = \frac{1}{x^{4}}

$u = \frac{1}{x^{4}}$ . Tìm

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm

\frac{1}{x^{4}}

$\frac{1}{x^{4}}$ .

\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 1.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Viết lại

\frac{1}{x^{4}}

$\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng

{(x^{4})}^{- 1}

${(x^{4})}^{- 1}$ .

\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 1.1.2.2

Nhân các số mũ trong

{(x^{4})}^{- 1}

${(x^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Bước 1.1.2.2.2

Nhân

4

$4$ với

- 1

$- 1$ .

\frac{d}{d x} [x^{- 4}]

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

\frac{d}{d x} [x^{- 4}]

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

\frac{d}{d x} [x^{- 4}]

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = - 4

$n = - 4$ .

- 4 x^{- 5}

$- 4 x^{- 5}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

- 4 \frac{1}{x^{5}}

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Kết hợp

- 4

$- 4$ và

\frac{1}{x^{5}}

$\frac{1}{x^{5}}$ .

\frac{- 4}{x^{5}}

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Bước 1.1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

- \frac{4}{x^{5}}

$- \frac{4}{x^{5}}$

- \frac{4}{x^{5}}

$- \frac{4}{x^{5}}$

- \frac{4}{x^{5}}

$- \frac{4}{x^{5}}$

- \frac{4}{x^{5}}

$- \frac{4}{x^{5}}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho

x

$x$ trong

u = \frac{1}{x^{4}}

$u = \frac{1}{x^{4}}$ .

u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

u_{lower} = \frac{1}{1}

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Bước 1.3.2

Chia

1

$1$ cho

1

$1$ .

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho

x

$x$ trong

u = \frac{1}{x^{4}}

$u = \frac{1}{x^{4}}$ .

u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

Bước 1.5

Nâng

2

$2$ lên lũy thừa

4

$4$ .

u_{upper} = \frac{1}{16}

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho

u_{lower}

$u_{lower}$ và

u_{upper}

$u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{upper} = \frac{1}{16}

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ ,

d u

$d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

Bước 2

Vì

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

Bước 3

Tích phân của

e^{u}

$e^{u}$ đối với

u

$u$ là

e^{u}

$e^{u}$ .

- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính

e^{u}

$e^{u}$ tại

\frac{1}{16}

$\frac{1}{16}$ và tại

1

$1$ .

- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

Bước 4.2

Rút gọn.

- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} (- e)

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} (- e)$

Bước 5.2

Kết hợp

e^{\frac{1}{16}}

$e^{\frac{1}{16}}$ và

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} - \frac{1}{4} (- e)

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} - \frac{1}{4} (- e)$

Bước 5.3

Nhân

- \frac{1}{4} (- e)

$- \frac{1}{4} (- e)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

- 1

$- 1$ .

- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e$

Bước 5.3.2

Nhân

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ với

1

$1$ .

- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{1}{4} e

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{1}{4} e$

Bước 5.3.3

Kết hợp

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ và

e

$e$ .

- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

Dạng thập phân:

0.41344684 \dots

$0.41344684 \dots$

Bước 7