Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Sau đó $d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ , nên $1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 1.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 1.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Bước 1.1.2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Bước 1.1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4}{x^{5}}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Bước 1.3.2

Chia $1$ cho $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

Bước 1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

Bước 2

Vì $- \frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

Bước 3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $e^{u}$ tại $\frac{1}{16}$ và tại $1$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

Bước 4.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} (- e)$

Bước 5.2

Kết hợp $e^{\frac{1}{16}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} - \frac{1}{4} (- e)$

Bước 5.3

Nhân $- \frac{1}{4} (- e)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e$

Bước 5.3.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{1}{4} e$

Bước 5.3.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

Dạng thập phân:

$0.41344684 \dots$

Bước 7