Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{e^{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 2.3

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} x + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4.2.2

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Bước 4.2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Bước 4.3.2.4

Chia $e^{- x} (- x + 1)$ cho $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Bước 4.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Bước 4.6

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Bước 4.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$