Giải tích Ví dụ

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của

x

$x$ bằng cách điền vào

0

$0$ cho

x

$x$ .

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Giá trị chính xác của

\sin (0)

$\sin (0)$ là

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của

x

$x$ bằng cách điền vào

0

$0$ cho

x

$x$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho

0

$0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Step 2

Vì

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Đạo hàm của

\sin (x)

$\sin (x)$ đối với

x

$x$ là

\cos (x)

$\cos (x)$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia

\cos (x)

$\cos (x)$ cho

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \cos (x)

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

Tính giới hạn của

x

$x$ bằng cách điền vào

0

$0$ cho

x

$x$ .

\cos (0)

$\cos (0)$

Step 6

Giá trị chính xác của

\cos (0)

$\cos (0)$ là

1

$1$ .

1

$1$