Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - \frac{5}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5}{x}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.1.1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 - 5 (- x^{- 2})$

Bước 1.1.1.3.4

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$2 + 5 x^{- 2}$

Bước 1.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.1.1.4.2

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

Bước 1.1.1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{5}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

Bước 1.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

Bước 1.2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{2}, 1$

Bước 1.2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2}$

Bước 1.2.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ với $x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ với $x^{2}$ .

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$5 = - 2 x^{2}$

Bước 1.2.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 2 x^{2} = 5$ .

$- 2 x^{2} = 5$

Bước 1.2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = 5$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = 5$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Bước 1.2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Bước 1.2.5.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

Bước 1.2.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

Bước 1.2.5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

Bước 1.2.5.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

Bước 1.2.5.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

Bước 1.2.5.4.3

Viết lại $\sqrt{\frac{5}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Bước 1.2.5.4.4

Nhân $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Bước 1.2.5.4.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.5.1

Nhân $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 1.2.5.4.5.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 1.2.5.4.5.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 1.2.5.4.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 1.2.5.4.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 1.2.5.4.5.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.2.5.4.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2.5.4.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.5.4.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.5.4.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 1.2.5.4.5.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.5.4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.4.6.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Bước 1.2.5.4.6.2

Nhân $5$ với $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

Bước 1.2.5.4.7

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{10}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Bước 1.2.5.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Bước 1.2.5.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Bước 1.2.5.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{5}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 1.3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 1.3.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.4

Tính $2 x - \frac{5}{x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$2 (0) - \frac{5}{0}$

Bước 1.4.1.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 1.5

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $x = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $5$ bằng $x$ .

$2 (5) - \frac{5}{5}$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Nhân $2$ với $5$ .

$10 - \frac{5}{5}$

Bước 2.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 - \frac{5}{5}$

Bước 2.1.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$10 - 1 \cdot 1$

Bước 2.1.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$10 - 1$

Bước 2.1.2.2

Trừ $1$ khỏi $10$ .

$9$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $x = 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $7$ bằng $x$ .

$2 (7) - \frac{5}{7}$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân $2$ với $7$ .

$14 - \frac{5}{7}$

Bước 2.2.2.2

Để viết $14$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

Bước 2.2.2.3

Kết hợp $14$ và $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

Bước 2.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

Bước 2.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.5.1

Nhân $14$ với $7$ .

$\frac{98 - 5}{7}$

Bước 2.2.2.5.2

Trừ $5$ khỏi $98$ .

$\frac{93}{7}$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(7, \frac{93}{7})$

Cực tiểu tuyệt đối: $(5, 9)$

Bước 4