Giải tích Ví dụ

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ , $[- 3, 1]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.3.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.3.2.2

Kết hợp $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ và $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.3.4

Nhân $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ với $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Bước 1.1.1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.6.1

Nhân $e^{\frac{x}{2}}$ với $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Bước 1.1.1.3.6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Đưa $e^{\frac{x}{2}}$ ra ngoài $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $e^{\frac{x}{2}}$ ra ngoài $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Bước 1.2.2.2

Nhân với $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Bước 1.2.2.3

Đưa $e^{\frac{x}{2}}$ ra ngoài $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $e^{\frac{x}{2}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $e^{\frac{x}{2}}$ bằng với $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

Bước 1.2.4.2

Giải $e^{\frac{x}{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Bước 1.2.4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 1.2.4.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{\frac{x}{2}} = 0$

Không có đáp án

Bước 1.2.5

Đặt $\frac{x}{2} + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $\frac{x}{2} + 1$ bằng với $0$ .

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Bước 1.2.5.2

Giải $\frac{x}{2} + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{x}{2} = - 1$

Bước 1.2.5.2.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Bước 1.2.5.2.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Bước 1.2.5.2.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 \cdot - 1$

Bước 1.2.5.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x = - 2$

Bước 1.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ đúng.

$x = - 2$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $x e^{\frac{x}{2}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$(- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Chia $- 2$ cho $2$ .

$- 2 \cdot e^{- 1}$

Bước 1.4.1.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \cdot \frac{1}{e}$

Bước 1.4.1.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e}$

Bước 1.4.1.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{e}$

Bước 1.4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 2, - \frac{2}{e})$

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $- 3$ bằng $x$ .

$(- 3) \cdot e^{\frac{- 3}{2}}$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 3 \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Bước 2.1.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.1.2.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.1.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$(1) \cdot e^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.2.2

Nhân $e^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 3, - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}), (1, e^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(1, e^{\frac{1}{2}})$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- 2, - \frac{2}{e})$

Bước 4