Giải tích Ví dụ

$f (x) = | x + 1 |$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Bước 1.2.4.2

Nhân $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ với $1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = | x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $| x + 1 |$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.4.4.2

Nhân $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.2

Nhân $- x - 1$ với $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.3.4

Viết lại $- (x + 1)$ ở dạng $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.3.5

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.3.6

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.2

Để viết $| x + 1 |$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1

Nhân $| x + 1 | | x + 1 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1.1

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.1.2

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.1.3

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.2

Viết lại ${(x + 1)}^{2}$ ở dạng $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.3

Khai triển $(x + 1) (x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.4.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.4.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.4.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.4.2

Cộng $x$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.5

Viết lại ${(x + 1)}^{2}$ ở dạng $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.6

Khai triển $(x + 1) (x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.7.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.7.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.7.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.7.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.7.2

Cộng $x$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.9.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.9.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11

Viết lại $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.11.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.11.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $| x^{2} + 2 x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.11.3.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11.3.3

Viết lại $- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ ở dạng $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.11.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Viết lại $\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ ở dạng một tích.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$

Bước 2.5.3.2

Nhân $\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ với $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Bước 2.5.3.3

Nhân ${| x + 1 |}^{2}$ với $| x + 1 |$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.3.1

Nhân ${| x + 1 |}^{2}$ với $| x + 1 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.3.1.1

Nâng $| x + 1 |$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Bước 2.5.3.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

Bước 2.5.3.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.1.1.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.1.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Bước 4.1.2.4.2

Nhân $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$x + 1 = 0$

Bước 5.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 5.4

Loại bỏ đáp án không làm cho $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ đúng.

$Không có đáp án$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$| x + 1 | = 0$

Bước 6.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm 0$

Bước 6.2.2

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 6.2.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = - 1$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

Bước 9.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

Bước 9.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

Bước 9.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 10

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Bước 10.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, - 1)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

Bước 10.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

Bước 10.2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

Bước 10.2.2.2.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 3$ và $0$ là $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{3}$

Bước 10.2.2.3

Chia $- 3$ cho $3$ .

$f' (- 4) = - 1$

Bước 10.2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Bước 10.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- 1, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

Bước 10.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 0 + 1 |}$

Bước 10.3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 1 |}$

Bước 10.3.2.2.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Bước 10.3.2.3

Chia $1$ cho $1$ .

$f' (0) = 1$

Bước 10.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 10.4

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = - 1$ , nên $x = - 1$ là một cực tiểu địa phương.

$x = - 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 11