Giải tích Ví dụ

$y = 2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ , $[- 2, 3]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $\frac{1}{5}$ .

$2 ({(\frac{1}{5})}^{x} \ln (\frac{1}{5}))$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{5}$ .

$2 \frac{1^{x}}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Bước 1.1.1.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \frac{1}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Bước 1.1.1.3.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{5^{x}}$ .

$\frac{2}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Bước 1.1.1.3.2.3

Kết hợp $\frac{2}{5^{x}}$ và $\ln (\frac{1}{5})$ .

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$2 \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Rút gọn $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Rút gọn $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\log_{2.71828182} ({(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

Bước 1.2.3.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{5}$ .

$\log_{2.71828182} (\frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0$

Bước 1.2.3.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{5^{2}}) = 0$

Bước 1.2.3.1.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0$

Bước 1.2.3.2

Vì $\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$2 {(\frac{1}{5})}^{- 2}$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$2 \cdot 5^{2}$

Bước 2.1.2.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \cdot 25$

Bước 2.1.2.3

Nhân $2$ với $25$ .

$50$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$2 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{5}$ .

$2 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Bước 2.2.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \frac{1}{5^{3}}$

Bước 2.2.2.1.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$2 (\frac{1}{125})$

Bước 2.2.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{125}$ .

$\frac{2}{125}$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})$

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(- 2, 50)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(3, \frac{2}{125})$

Bước 4