Giải tích Ví dụ

$f (x) = | x |$ , given $\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{13}$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đạo hàm của $| x |$ đối với $x$ là $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x}{| x |} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$x = 0$

Bước 1.2.3

Loại bỏ đáp án không làm cho $\frac{x}{| x |} = 0$ đúng.

$Không có đáp án$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x}{| x |}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$| x | = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Bước 1.3.2.2

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.4

Tính $| x |$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$| 0 |$

Bước 1.4.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0)$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

Bước 3

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giá trị tại $x = \sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay $\sqrt{5}$ bằng $x$ .

$| \sqrt{5} |$

Bước 3.1.2

$\sqrt{5}$ xấp xỉ $2.23606797$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\sqrt{5}$

Bước 3.2

Tính giá trị tại $x = \sqrt{13}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $\sqrt{13}$ bằng $x$ .

$| \sqrt{13} |$

Bước 3.2.2

$\sqrt{13}$ xấp xỉ $3.60555127$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\sqrt{13}$

Bước 3.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (\sqrt{13}, \sqrt{13})$

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(\sqrt{13}, \sqrt{13})$

Cực tiểu tuyệt đối: $(\sqrt{5}, \sqrt{5})$

Bước 5