Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t - 8$ .

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 8$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.5

Vì $- 8$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1.1

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1.1.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3.1.1.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3.1.2

Nhân $2$ với $- 8$ .

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3.2

Trừ $t^{2}$ khỏi $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.4

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2} - 16 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.4.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.4.2

Đưa $t$ ra ngoài $- 16 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.4.3

Đưa $t$ ra ngoài $t \cdot t + t \cdot - 16$ .

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (t)$ đối với $t$ là $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$t (t - 16) = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$t = 0$

$t - 16 = 0$

Bước 1.2.3.2

Đặt $t$ bằng với $0$ .

$t = 0$

Bước 1.2.3.3

Đặt $t - 16$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Đặt $t - 16$ bằng với $0$ .

$t - 16 = 0$

Bước 1.2.3.3.2

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$t = 16$

Bước 1.2.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $t (t - 16) = 0$ đúng.

$t = 0, 16$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đặt $t - 8$ bằng $0$ .

$t - 8 = 0$

Bước 1.3.2.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$t = 8$

Bước 1.4

Tính $\frac{t^{2}}{t - 8}$ tại các giá trị $t$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $t = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{0 - 8}$

Bước 1.4.1.2.2

Trừ $8$ khỏi $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

Bước 1.4.1.2.3

Chia $0$ cho $- 8$ .

$0$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $t = 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $16$ bằng $t$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Nâng $16$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

Bước 1.4.2.2.2

Trừ $8$ khỏi $16$ .

$\frac{256}{8}$

Bước 1.4.2.2.3

Chia $256$ cho $8$ .

$32$

Bước 1.4.3

Tính giá trị tại $t = 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Thay $8$ bằng $t$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

Bước 1.4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

Bước 1.4.3.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 1.4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0), (16, 32)$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

Bước 3

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giá trị tại $t = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay $- 2$ bằng $t$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

Bước 3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4}{- 2 - 8}$

Bước 3.1.2.1.2

Trừ $8$ khỏi $- 2$ .

$\frac{4}{- 10}$

Bước 3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $- 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 (2)}{- 10}$

Bước 3.1.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Bước 3.1.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Bước 3.1.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{- 5}$

Bước 3.1.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{5}$

Bước 3.2

Tính giá trị tại $t = - \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $- \frac{1}{4}$ bằng $t$ .

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Bước 3.2.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Bước 3.2.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Bước 3.2.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Bước 3.2.2.1.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

Bước 3.2.2.1.6

Nhân $\frac{1}{16}$ với $1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Để viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

Bước 3.2.2.2.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

Bước 3.2.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

Bước 3.2.2.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.4.1

Nhân $- 8$ với $4$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

Bước 3.2.2.2.4.2

Trừ $32$ khỏi $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

Bước 3.2.2.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

Bước 3.2.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

Bước 3.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4}{33}$ vào tử số.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

Bước 3.2.2.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

Bước 3.2.2.4.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Bước 3.2.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Bước 3.2.2.4.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

Bước 3.2.2.5

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{- 1}{33}$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

Bước 3.2.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.6.1

Nhân $4$ với $33$ .

$\frac{- 1}{132}$

Bước 3.2.2.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{132}$

Bước 3.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Bước 4

So sánh các giá trị $f (t)$ tìm được với mỗi giá trị của $t$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (t)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (t)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- 2, - \frac{2}{5})$

Bước 5