Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \sin^{2} (x)$ on $[0, π]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$5 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.1.1.3

Nhân $2$ với $5$ .

$10 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.1.1.4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$10 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1.1.1.5

Sắp xếp lại các thừa số của $10 \sin (x) \cos (x)$ .

$f' (x) = 10 \cos (x) \sin (x)$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $10 \cos (x) \sin (x)$ .

$10 \cos (x) \sin (x)$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $10 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$10 \cos (x) \sin (x) = 0$

Bước 1.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Bước 1.2.3

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 1.2.3.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 1.2.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 1.2.3.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 1.2.3.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 1.2.3.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 1.2.3.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 1.2.3.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 1.2.3.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 1.2.3.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.3.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.2.3.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.2.3.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.2.3.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.4

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 1.2.4.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 1.2.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.4.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 1.2.4.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 1.2.4.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.4.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.2.4.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.2.4.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.2.4.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $10 \cos (x) \sin (x) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.6

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $5 \sin^{2} (x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$5 \sin^{2} (0)$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$5 \cdot 0^{2}$

Bước 1.4.1.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$5 \cdot 0$

Bước 1.4.1.2.3

Nhân $5$ với $0$ .

$0$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $\frac{π}{2}$ bằng $x$ .

$5 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$5 \cdot 1^{2}$

Bước 1.4.2.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$5 \cdot 1$

Bước 1.4.2.2.3

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 5)$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

$(\frac{π}{2}, 5)$

Bước 3

Dùng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất để xác định các điểm cực đại hoặc cực tiểu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Bước 3.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $10 \cos (x) \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = 10 \cos (- 2) \sin (- 2)$

Bước 3.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Tính $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 10 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

Bước 3.2.2.2

Nhân $10$ với $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 4.16146836 \sin (- 2)$

Bước 3.2.2.3

Tính $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 4.16146836 \cdot - 0.90929742$

Bước 3.2.2.4

Nhân $- 4.16146836$ với $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 3.78401247$

Bước 3.2.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $3.78401247$ .

$3.78401247$

Bước 3.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(0, \frac{π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $10 \cos (x) \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 10 \cos (1) \sin (1)$

Bước 3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Tính $\cos (1)$ .

$f' (1) = 10 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

Bước 3.3.2.2

Nhân $10$ với $0.5403023$ .

$f' (1) = 5.40302305 \sin (1)$

Bước 3.3.2.3

Tính $\sin (1)$ .

$f' (1) = 5.40302305 \cdot 0.84147098$

Bước 3.3.2.4

Nhân $5.40302305$ với $0.84147098$ .

$f' (1) = 4.54648713$

Bước 3.3.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $4.54648713$ .

$4.54648713$

Bước 3.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(\frac{π}{2}, π)$ trong đạo hàm đầu tiên $10 \cos (x) \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = 10 \cos (2) \sin (2)$

Bước 3.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Tính $\cos (2)$ .

$f' (2) = 10 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

Bước 3.4.2.2

Nhân $10$ với $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 4.16146836 \sin (2)$

Bước 3.4.2.3

Tính $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 4.16146836 \cdot 0.90929742$

Bước 3.4.2.4

Nhân $- 4.16146836$ với $0.90929742$ .

$f' (2) = - 3.78401247$

Bước 3.4.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 3.78401247$ .

$- 3.78401247$

Bước 3.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $6$ , từ khoảng $(π, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $10 \cos (x) \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f' (6) = 10 \cos (6) \sin (6)$

Bước 3.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Tính $\cos (6)$ .

$f' (6) = 10 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

Bước 3.5.2.2

Nhân $10$ với $0.96017028$ .

$f' (6) = 9.60170286 \sin (6)$

Bước 3.5.2.3

Tính $\sin (6)$ .

$f' (6) = 9.60170286 \cdot - 0.27941549$

Bước 3.5.2.4

Nhân $9.60170286$ với $- 0.27941549$ .

$f' (6) = - 2.68286459$

Bước 3.5.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 2.68286459$ .

$- 2.68286459$

Bước 3.6

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 0$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 3.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = \frac{π}{2}$ , nên $x = \frac{π}{2}$ là một cực đại địa phương.

$x = \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 3.8

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = π$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 3.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 5 \sin^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(\frac{π}{2}, 5)$

Không có cực tiểu tuyệt đối

Bước 5