Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ , $[- 2, 1]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{x^{2}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.1.1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Bước 1.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.1.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Bước 1.1.1.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Bước 1.1.1.3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Bước 1.1.1.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Bước 1.1.1.3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Bước 1.1.1.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Bước 1.1.1.3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 3})$

Bước 1.1.1.3.10

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$- x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Bước 1.1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 3}$

Bước 1.1.1.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Bước 1.1.1.6

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$

Bước 1.2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Bước 1.2.2.2

Vì $x^{2}, x^{3}, 1$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $1, 1, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $x^{2}, x^{3}$ .

Bước 1.2.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 1.2.2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 1.2.2.5

BCNN của $1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 1.2.2.6

Các thừa số cho $x^{2}$ là $x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $2$ lần.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ xảy ra $2$ lần.

Bước 1.2.2.7

Các thừa số cho $x^{3}$ là $x \cdot x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $3$ lần.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ xảy ra $3$ lần.

Bước 1.2.2.8

BCNN của $x^{2}, x^{3}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x \cdot x \cdot x$

Bước 1.2.2.9

Rút gọn $x \cdot x \cdot x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.9.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Bước 1.2.2.9.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.9.2.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.9.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Bước 1.2.2.9.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2 + 1}$

Bước 1.2.2.9.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$x^{3}$

Bước 1.2.3

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ với $x^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ với $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 1.2.3.2.1.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 1.2.3.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 1.2.3.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$- x + 4 = 0 x^{3}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Nhân $0$ với $x^{3}$ .

$- x + 4 = 0$

Bước 1.2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 4$

Bước 1.2.4.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 4$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.2.4.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.3.1

Chia $- 4$ cho $- 1$ .

$x = 4$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 1.3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 1.3.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.3.3

Đặt mẫu số trong $\frac{4}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 1.3.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 1.3.4.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 1.3.4.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 1.4

Tính $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $4$ bằng $x$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{{(4)}^{2}}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{16}$

Bước 1.4.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{16}$

Bước 1.4.1.2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Bước 1.4.1.2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Bước 1.4.1.2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Bước 1.4.1.2.2

Để viết $\frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Bước 1.4.1.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.3.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Bước 1.4.1.2.3.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Bước 1.4.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 - 1}{8}$

Bước 1.4.1.2.5

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{8}$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{0}$

Bước 1.4.2.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(4, \frac{1}{8})$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

Bước 3

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$\frac{1}{- 2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và ${(- 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.2.1

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.1.2.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Bước 3.1.2.1.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.2.3.1

Đưa $- 2$ ra ngoài ${(- 2)}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Bước 3.1.2.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Bước 3.1.2.1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1}{- 2}$

Bước 3.1.2.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 3.1.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Bước 3.1.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Bước 3.1.2.2.2.2

Chia $- 2$ cho $2$ .

$- 1$

Bước 3.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Chia $1$ cho $1$ .

$1 - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Bước 3.2.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - \frac{2}{1}$

Bước 3.2.2.1.3

Chia $2$ cho $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Bước 3.2.2.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$1 - 2$

Bước 3.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- 1$

Bước 3.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 2, - 1), (1, - 1)$

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Bước 5