Giải tích Ví dụ

$f (t) = 4 \sqrt{t} - t$ , $[0, 16]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \sqrt{t} - t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.10

Kết hợp $4$ và $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.11

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.12

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.2.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (t) = \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (t)$ đối với $t$ là $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Bước 1.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$

Bước 1.2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$t^{\frac{1}{2}}, 1$

Bước 1.2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$t^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ với $t^{\frac{1}{2}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ với $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$2 = t^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $t^{\frac{1}{2}} = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} = 2$

Bước 1.2.5.2

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Bước 1.2.5.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.3.1.1

Rút gọn ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.3.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Bước 1.2.5.3.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.3.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Bước 1.2.5.3.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$t^{1} = 2^{2}$

Bước 1.2.5.3.1.1.2

Rút gọn.

$t = 2^{2}$

Bước 1.2.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.3.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$t = 4$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{2}{\sqrt{t^{1}}} - 1$

Bước 1.3.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{2}{\sqrt{t}} - 1$

Bước 1.3.2

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{\sqrt{t}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{t} = 0$

Bước 1.3.3

Giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{t}}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.3.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.2.1

Rút gọn ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.3.3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$t^{1} = 0^{2}$

Bước 1.3.3.2.2.1.2

Rút gọn.

$t = 0^{2}$

Bước 1.3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$t = 0$

Bước 1.3.4

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{t}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$t < 0$

Bước 1.3.5

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 1.4

Tính $4 \sqrt{t} - t$ tại các giá trị $t$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $t = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $4$ bằng $t$ .

$4 \sqrt{4} - (4)$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$4 \sqrt{4} - (4)$

Bước 1.4.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2}} - (4)$

Bước 1.4.1.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$4 \cdot 2 - (4)$

Bước 1.4.1.2.2.3

Nhân $4$ với $2$ .

$8 - (4)$

Bước 1.4.1.2.2.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$8 - 4$

Bước 1.4.1.2.3

Trừ $4$ khỏi $8$ .

$4$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $t = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $0$ bằng $t$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Bước 1.4.2.2.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Bước 1.4.2.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$4 \cdot 0 - (0)$

Bước 1.4.2.2.4

Nhân $4$ với $0$ .

$0 - (0)$

Bước 1.4.2.2.5

Trừ $0$ khỏi $0$ .

$0$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(4, 4), (0, 0)$

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $t = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $0$ bằng $t$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Bước 2.1.2.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Bước 2.1.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$4 \cdot 0 - (0)$

Bước 2.1.2.4

Nhân $4$ với $0$ .

$0 - (0)$

Bước 2.1.2.5

Trừ $0$ khỏi $0$ .

$0$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $t = 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $16$ bằng $t$ .

$4 \sqrt{16} - (16)$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$4 \sqrt{16} - (16)$

Bước 2.2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$4 \sqrt{4^{2}} - (16)$

Bước 2.2.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$4 \cdot 4 - (16)$

Bước 2.2.2.2.3

Nhân $4$ với $4$ .

$16 - (16)$

Bước 2.2.2.2.4

Nhân $- 1$ với $16$ .

$16 - 16$

Bước 2.2.2.3

Trừ $16$ khỏi $16$ .

$0$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0), (16, 0)$

Bước 3

So sánh các giá trị $f (t)$ tìm được với mỗi giá trị của $t$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (t)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (t)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(4, 4)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(0, 0), (16, 0)$

Bước 4