Giải tích Ví dụ

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} + 4$ và $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Bước 1.9.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Bước 1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Bước 1.10.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Bước 1.10.2.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Bước 1.10.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Bước 1.10.3.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

Bước 2.2

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 2$ và $g (x) = x - 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.4.2

Nhân $x + 2$ với $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.7

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.8.2

Nhân $x - 2$ với $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.8.3

Cộng $x$ và $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.8.4

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.8.4.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.8.4.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.6

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Di chuyển $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.6.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.6.3

Cộng $1$ và $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 2.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

Bước 2.9.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.2

Khai triển $(- 2 x - 4) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.3.1.2

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.3.1.3

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.3.2

Trừ $4 x$ khỏi $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.3.3

Cộng $- 2 x^{2}$ và $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.5

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.1.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.2

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.2.3

Cộng $0$ và $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{8 x}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 (x^{4})}$

Bước 2.10.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Bước 2.10.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$g'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Bước 2.10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Bước 2.10.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.10.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.10.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Bước 4.1.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.3.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.3.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 4.1.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Bước 4.1.9.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Bước 4.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Bước 4.1.10.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.10.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Bước 4.1.10.2.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Bước 4.1.10.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.10.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Bước 4.1.10.3.2

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $g (x)$ đối với $x$ là $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 5.3.2

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 5.3.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 5.3.3

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 5.3.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 5.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 2) (x - 2) = 0$ đúng.

$x = - 2, 2$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$4 x^{2} = 0$

Bước 6.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 6.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 6.2.1.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Bước 6.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x^{2} = 0$

Bước 6.2.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 6.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 6.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 6.2.3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = - 2, 2$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và ${(- 2)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{3}}$

Bước 9.1.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Đưa $- 2$ ra ngoài ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Bước 9.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Bước 9.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Bước 9.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 1}{4}$

Bước 9.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4}$

Bước 10

$x = - 2$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 2$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{4 (- 2)}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{4 (- 2)}$

Bước 11.2.1.2

Cộng $4$ và $4$ .

$g (- 2) = \frac{8}{4 (- 2)}$

Bước 11.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Nhân $4$ với $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{8}{- 8}$

Bước 11.2.2.2

Chia $8$ cho $- 8$ .

$g (- 2) = - 1$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$y = - 1$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{2}{{(2)}^{3}}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và ${(2)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Bước 13.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài ${(2)}^{3}$ .

$\frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Bước 13.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Bước 13.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2^{2}}$

Bước 13.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 14

$x = 2$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{4 (2)}$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$g (2) = \frac{4 + 4}{4 (2)}$

Bước 15.2.1.2

Cộng $4$ và $4$ .

$g (2) = \frac{8}{4 (2)}$

Bước 15.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.1

Nhân $4$ với $2$ .

$g (2) = \frac{8}{8}$

Bước 15.2.2.2

Chia $8$ cho $8$ .

$g (2) = 1$

Bước 15.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 16

Đây là những cực trị địa phương cho $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$ .

$(- 2, - 1)$ là một cực đại địa phuơng

$(2, 1)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 17