Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\cos (x) - \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\cos (x) - \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 1.2.4

Tách các phân số.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 1.2.5

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 1.2.6

Chia $- 1$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 1.2.7

Tách các phân số.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 1.2.8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 1.2.9

Chia $0$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 1.2.10

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Bước 1.2.11

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = - 1$

Bước 1.2.12

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.12.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.12.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.12.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Bước 1.2.13

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (1)$

Bước 1.2.14

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.14.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 1.2.15

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 1.2.16

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.16.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 1.2.16.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.16.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 1.2.16.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 1.2.16.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.16.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 1.2.16.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 1.2.17

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.17.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 1.2.17.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 1.2.17.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 1.2.17.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 1.2.18

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $\sin (x) + \cos (x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $\frac{π}{4}$ bằng $x$ .

$\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.4.1.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4.1.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4.1.2.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4.1.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4.1.2.2.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = \frac{5 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $\frac{5 π}{4}$ bằng $x$ .

$\sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 1.4.2.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 1.4.2.2.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.4.2.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4.2.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4.2.2.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4.2.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 1.4.2.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 1.4.2.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.2.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 1.4.2.2.2.3.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$- \sqrt{2}$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2})$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

Bước 3

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\sin (0) + \cos (0)$

Bước 3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 + \cos (0)$

Bước 3.1.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 1$

Bước 3.1.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 3.2

Tính giá trị tại $x = 2 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $2 π$ bằng $x$ .

$\sin (2 π) + \cos (2 π)$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\sin (0) + \cos (2 π)$

Bước 3.2.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 + \cos (2 π)$

Bước 3.2.2.1.3

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$0 + \cos (0)$

Bước 3.2.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 1$

Bước 3.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 3.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 1), (2 π, 1)$

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$

Cực tiểu tuyệt đối: $(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

Bước 5