Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} + \frac{240}{x}$ ; $(0, \infty)$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + \frac{240}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Bước 1.1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $240$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{240}{x}$ đối với $x$ là $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.1.1.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 x + 240 (- x^{- 2})$

Bước 1.1.1.2.4

Nhân $- 1$ với $240$ .

$2 x - 240 x^{- 2}$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 240 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Kết hợp $- 240$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 240}{x^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x^{2}, 1$

Bước 1.2.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2}$

Bước 1.2.3

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ với $x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ với $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 1.2.3.2.1.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 1.2.3.2.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{2 + 1} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 1.2.3.2.1.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$2 x^{3} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{240}{x^{2}}$ vào tử số.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{3} - 240 = 0 x^{2}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Nhân $0$ với $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 240 = 0$

Bước 1.2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $240$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x^{3} = 240$

Bước 1.2.4.2

Trừ $240$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x^{3} - 240 = 0$

Bước 1.2.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3} - 240$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 240 = 0$

Bước 1.2.4.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 240$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 120 = 0$

Bước 1.2.4.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3} + 2 \cdot - 120$ .

$2 (x^{3} - 120) = 0$

Bước 1.2.4.4

Chia mỗi số hạng trong $2 (x^{3} - 120) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x^{3} - 120) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.4.4.2.1.2

Chia $x^{3} - 120$ cho $1$ .

$x^{3} - 120 = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.4.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x^{3} - 120 = 0$

Bước 1.2.4.5

Cộng $120$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{3} = 120$

Bước 1.2.4.6

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{120}$

Bước 1.2.4.7

Rút gọn $\sqrt[3]{120}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.7.1

Viết lại $120$ ở dạng $2^{3} \cdot 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.7.1.1

Đưa $8$ ra ngoài $120$ .

$x = \sqrt[3]{8 (15)}$

Bước 1.2.4.7.1.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 15}$

Bước 1.2.4.7.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{240}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 1.3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 1.3.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.4

Tính $x^{2} + \frac{240}{x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 2 \sqrt[3]{15}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $2 \sqrt[3]{15}$ bằng $x$ .

${(2 \sqrt[3]{15})}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt[3]{15}$ .

$2^{2} {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Bước 1.4.1.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Bước 1.4.1.2.1.3

Viết lại ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{15^{2}} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Bước 1.4.1.2.1.4

Nâng $15$ lên lũy thừa $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Bước 1.4.1.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $240$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $240$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Bước 1.4.1.2.1.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt[3]{15}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 (\sqrt[3]{15})}$

Bước 1.4.1.2.1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Bước 1.4.1.2.1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}}$

Bước 1.4.1.2.1.6

Nhân $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Bước 1.4.1.2.1.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.7.1

Nhân $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{\sqrt[3]{15} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Bước 1.4.1.2.1.7.2

Nâng $\sqrt[3]{15}$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Bước 1.4.1.2.1.7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1 + 2}}$

Bước 1.4.1.2.1.7.4

Cộng $1$ và $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{3}}$

Bước 1.4.1.2.1.7.5

Viết lại ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ ở dạng $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.7.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{15}$ ở dạng $15^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{(15^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 1.4.1.2.1.7.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 1.4.1.2.1.7.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Bước 1.4.1.2.1.7.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.7.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Bước 1.4.1.2.1.7.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{1}}$

Bước 1.4.1.2.1.7.5.5

Tính số mũ.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15}$

Bước 1.4.1.2.1.8

Triệt tiêu thừa số chung của $120$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.8.1

Đưa $15$ ra ngoài $120 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15}$

Bước 1.4.1.2.1.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.8.2.1

Đưa $15$ ra ngoài $15$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 (1)}$

Bước 1.4.1.2.1.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.2.1.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{8 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{1}$

Bước 1.4.1.2.1.8.2.4

Chia $8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ cho $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$

Bước 1.4.1.2.1.9

Viết lại ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{15^{2}}$

Bước 1.4.1.2.1.10

Nâng $15$ lên lũy thừa $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{225}$

Bước 1.4.1.2.2

Cộng $4 \sqrt[3]{225}$ và $8 \sqrt[3]{225}$ .

$12 \sqrt[3]{225}$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{240}{0}$

Bước 1.4.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Bước 2

Dùng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất để xác định các điểm cực đại hoặc cực tiểu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{15}) \cup (2 \sqrt[3]{15}, \infty)$

Bước 2.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 2 \sqrt[3]{15})$ trong đạo hàm đầu tiên $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Bước 2.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Bước 2.2.2.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{4}$

Bước 2.2.2.1.3

Chia $240$ cho $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 60$

Bước 2.2.2.1.4

Nhân $- 1$ với $60$ .

$f' (- 2) = - 4 - 60$

Bước 2.2.2.2

Trừ $60$ khỏi $- 4$ .

$f' (- 2) = - 64$

Bước 2.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 64$ .

$- 64$

Bước 2.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $7$ , từ khoảng $(2 \sqrt[3]{15}, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f' (7) = 2 (7) - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Bước 2.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Nhân $2$ với $7$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Bước 2.3.2.1.2

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{49}$

Bước 2.3.2.2

Để viết $14$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = 14 \cdot \frac{49}{49} - \frac{240}{49}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $14$ và $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49}{49} - \frac{240}{49}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49 - 240}{49}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $14$ với $49$ .

$f' (7) = \frac{686 - 240}{49}$

Bước 2.3.2.5.2

Trừ $240$ khỏi $686$ .

$f' (7) = \frac{446}{49}$

Bước 2.3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{446}{49}$ .

$\frac{446}{49}$

Bước 2.4

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 2 \sqrt[3]{15}$ , nên $x = 2 \sqrt[3]{15}$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ là cực tiểu địa phương

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Không có cực đại tuyệt đối

Cực tiểu tuyệt đối: $(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Bước 4