Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + \frac{4}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \frac{4}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$1 + 4 (- x^{- 2})$

Bước 1.2.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$1 - 4 x^{- 2}$

Bước 1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 4}{x^{2}}$

Bước 1.4.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - \frac{4}{x^{2}}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{4}{x^{2}} + 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{4}{x^{2}} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{x^{2}}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = - 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.2.10

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$f'' (x) = 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 8 x^{- 3} + 0$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{3}} + 0$

Bước 2.4.2.2

Cộng $\frac{8}{x^{3}}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{3}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- \frac{4}{x^{2}} + 1 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \frac{4}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Bước 4.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 4.1.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 4.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$1 + 4 (- x^{- 2})$

Bước 4.1.2.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$1 - 4 x^{- 2}$

Bước 4.1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 4}{x^{2}}$

Bước 4.1.4.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - \frac{4}{x^{2}}$

Bước 4.1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{2}} + 1$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{4}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{4}{x^{2}} + 1$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{4}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{4}{x^{2}} + 1 = 0$

Bước 5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{4}{x^{2}} = - 1$

Bước 5.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{2}, 1$

Bước 5.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2}$

Bước 5.4

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{4}{x^{2}} = - 1$ với $x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{4}{x^{2}} = - 1$ với $x^{2}$ .

$- \frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4}{x^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Bước 5.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Bước 5.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 = - x^{2}$

Bước 5.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- x^{2} = - 4$ .

$- x^{2} = - 4$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 4$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 5.5.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Bước 5.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Chia $- 4$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Bước 5.5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 5.5.4

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 5.5.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 5.5.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 5.5.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 5.5.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{4}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 6.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 6.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 6.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 2, - 2$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{8}{{(2)}^{3}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{8}{8}$

Bước 9.2

Chia $8$ cho $8$ .

$1$

Bước 10

$x = 2$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = (2) + \frac{4}{2}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Chia $4$ cho $2$ .

$f (2) = 2 + 2$

Bước 11.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$f (2) = 4$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $4$ .

$y = 4$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{8}{- 8}$

Bước 13.2

Chia $8$ cho $- 8$ .

$- 1$

Bước 14

$x = - 2$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 2$ là cực đại địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = (- 2) + \frac{4}{- 2}$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Chia $4$ cho $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 - 2$

Bước 15.2.2

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$f (- 2) = - 4$

Bước 15.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4$ .

$y = - 4$

Bước 16

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

$(2, 4)$ là một cực tiểu địa phương

$(- 2, - 4)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 17