Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (x) - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x} - 1$ .

$\frac{1}{x} - 1$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

Bước 1.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{x} = 1$

Bước 1.2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x, 1$

Bước 1.2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 1.2.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} = 1$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} = 1$ với $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Bước 1.2.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = 1 x$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Nhân $x$ với $1$ .

$1 = x$

Bước 1.2.5

Viết lại phương trình ở dạng $x = 1$ .

$x = 1$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 1.4

Tính $\ln (x) - x$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\ln (1) - (1)$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$0 - (1)$

Bước 1.4.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 1.4.1.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\ln (0) - (0)$

Bước 1.4.2.2

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1, - 1)$

Bước 2

Dùng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất để xác định các điểm cực đại hoặc cực tiểu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 2.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 1)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{1}{x} - 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

Bước 2.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

Bước 2.2.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.2.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Bước 2.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 2.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Bước 2.2.2.5.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

Bước 2.2.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

Bước 2.2.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Bước 2.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(1, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{1}{x} - 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

Bước 2.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Bước 2.3.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.4.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

Bước 2.3.2.4.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

Bước 2.3.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

Bước 2.3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Bước 2.4

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 1$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 2.5

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho $f (x) = \ln (x) - x$ .

Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Không có cực đại tuyệt đối

Không có cực tiểu tuyệt đối

Bước 4