Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ , $[- 2, 1]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.2.4

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.2.5.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{2} - 4 x + 0$

Bước 1.1.1.4.2

Cộng $x^{2} - 4 x$ và $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{2} - 4 x$ .

$x^{2} - 4 x$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{2} - 4 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Bước 1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Bước 1.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Bước 1.2.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.5

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 1.2.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 1.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 0, 4$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{{(0)}^{3}}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

Bước 1.4.1.2.1.2

Chia $0$ cho $3$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 4$

Bước 1.4.1.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 4$

Bước 1.4.1.2.1.4

Nhân $- 2$ với $0$ .

$0 + 0 + 4$

Bước 1.4.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 4$

Bước 1.4.1.2.2.2

Cộng $0$ và $4$ .

$4$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $4$ bằng $x$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Viết $- 2 {(4)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} + 4$

Bước 1.4.2.2.1.2

Nhân $\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Bước 1.4.2.2.1.3

Nhân $\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + 4$

Bước 1.4.2.2.1.4

Viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Bước 1.4.2.2.1.5

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 1.4.2.2.1.6

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Bước 1.4.2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 1.4.2.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{64 - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 1.4.2.2.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{64 - 2 \cdot 16 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 1.4.2.2.3.3

Nhân $- 2 \cdot 16 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.3.3.1

Nhân $- 2$ với $16$ .

$\frac{64 - 32 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 1.4.2.2.3.3.2

Nhân $- 32$ với $3$ .

$\frac{64 - 96 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 1.4.2.2.3.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{64 - 96 + 12}{3}$

Bước 1.4.2.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.4.1

Trừ $96$ khỏi $64$ .

$\frac{- 32 + 12}{3}$

Bước 1.4.2.2.4.2

Cộng $- 32$ và $12$ .

$\frac{- 20}{3}$

Bước 1.4.2.2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{20}{3}$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 4), (4, - \frac{20}{3})$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

$(0, 4)$

Bước 3

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Bước 3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{- 8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Bước 3.1.2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Bước 3.1.2.1.3

Nhân $- 2$ với ${(- 2)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.3.1

Nhân $- 2$ với ${(- 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2} + 4$

Bước 3.1.2.1.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1 + 2} + 4$

Bước 3.1.2.1.3.2

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{3} + 4$

Bước 3.1.2.1.4

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{8}{3} - 8 + 4$

Bước 3.1.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 4$

Bước 3.1.2.2.2

Nhân $\frac{- 8}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Bước 3.1.2.2.3

Nhân $\frac{- 8}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 4$

Bước 3.1.2.2.4

Viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Bước 3.1.2.2.5

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.1.2.2.6

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Bước 3.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 3.1.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Nhân $- 8$ với $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 3.1.2.4.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 12}{3}$

Bước 3.1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.5.1

Trừ $24$ khỏi $- 8$ .

$\frac{- 32 + 12}{3}$

Bước 3.1.2.5.2

Cộng $- 32$ và $12$ .

$\frac{- 20}{3}$

Bước 3.1.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{20}{3}$

Bước 3.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{{(1)}^{3}}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

Bước 3.2.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 4$

Bước 3.2.2.1.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{3} - 2 + 4$

Bước 3.2.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 4$

Bước 3.2.2.2.2

Nhân $\frac{- 2}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Bước 3.2.2.2.3

Nhân $\frac{- 2}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 4$

Bước 3.2.2.2.4

Viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Bước 3.2.2.2.5

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.2.2.2.6

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.4.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{1 - 6 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.2.4.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1 - 6 + 12}{3}$

Bước 3.2.2.5

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.5.1

Trừ $6$ khỏi $1$ .

$\frac{- 5 + 12}{3}$

Bước 3.2.2.5.2

Cộng $- 5$ và $12$ .

$\frac{7}{3}$

Bước 3.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 2, - \frac{20}{3}), (1, \frac{7}{3})$

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(0, 4)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- 2, - \frac{20}{3})$

Bước 5