Giải tích Ví dụ

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 9, 4]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - | t - 2 |$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Bước 1.1.1.1.2

Vì $2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $2$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- | t - 2 |$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = | t |$ và $g (t) = t - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t - 2$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

Bước 1.1.1.2.2.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Bước 1.1.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t - 2$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Bước 1.1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 2$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Bước 1.1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Bước 1.1.1.2.5

Vì $- 2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $t$ là $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

Bước 1.1.1.2.6

Cộng $1$ và $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

Bước 1.1.1.2.7

Nhân $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ với $1$ .

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Bước 1.1.1.3

Trừ $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ khỏi $0$ .

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (t)$ đối với $t$ là $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$t - 2 = 0$

Bước 1.2.3

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$t = 2$

Bước 1.2.4

Loại bỏ đáp án không làm cho $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ đúng.

$Không có đáp án$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$| t - 2 | = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$t - 2 = \pm 0$

Bước 1.3.2.2

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$t - 2 = 0$

Bước 1.3.2.3

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$t = 2$

Bước 1.4

Tính $2 - | t - 2 |$ tại các giá trị $t$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $t = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $2$ bằng $t$ .

$2 - | (2) - 2 |$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$2 - | 0 |$

Bước 1.4.1.2.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$2 - 0$

Bước 1.4.1.2.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.4.1.2.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(2, 2)$

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $t = - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $- 9$ bằng $t$ .

$2 - | (- 9) - 2 |$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Trừ $2$ khỏi $- 9$ .

$2 - | - 11 |$

Bước 2.1.2.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 11$ và $0$ là $11$ .

$2 - 1 \cdot 11$

Bước 2.1.2.1.3

Nhân $- 1$ với $11$ .

$2 - 11$

Bước 2.1.2.2

Trừ $11$ khỏi $2$ .

$- 9$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $t = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $4$ bằng $t$ .

$2 - | (4) - 2 |$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$2 - | 2 |$

Bước 2.2.2.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$2 - 1 \cdot 2$

Bước 2.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2$

Bước 2.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$0$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 9, - 9), (4, 0)$

Bước 3

So sánh các giá trị $f (t)$ tìm được với mỗi giá trị của $t$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (t)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (t)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(2, 2)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- 9, - 9)$

Bước 4