Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 3$ và $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.3

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.4.2

Nhân $4 + x$ với $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.6

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.7

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 + x - x - - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.3

Cộng $4$ và $3$ .

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$7 = 0$

Bước 1.2.3

Vì $7 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đặt $x + 4$ bằng $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 1.3.2.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 1.4

Tính $\frac{x - 3}{4 + x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $- 4$ bằng $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Bước 1.4.1.2.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Bước 1.4.1.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 1.5

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $x = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $- 4$ bằng $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Bước 2.1.2.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Bước 2.1.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 2.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Bước 2.2.2.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{- 2}{4 + 1}$

Bước 2.2.2.3

Cộng $4$ và $1$ .

$\frac{- 2}{5}$

Bước 2.2.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{5}$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1, - \frac{2}{5})$

Bước 3

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(1, - \frac{2}{5})$

Không có cực tiểu tuyệt đối

Bước 5