Giải tích Ví dụ

$3 y^{2} - \sqrt{x} = 23$ , $(16, 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 16$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 23$

Bước 1.2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (23)$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.3.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.3.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.3.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 1.3.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 1.3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 1.3.3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.3.3.9

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.4

Vì $23$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $23$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 1.6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.6.2

Chia mỗi số hạng trong $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ cho $6 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ cho $6 y$ .

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Bước 1.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Bước 1.6.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Bước 1.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Bước 1.6.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

Bước 1.6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y}$

Bước 1.6.2.3.2

Kết hợp.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y)}$

Bước 1.6.2.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.3.3.1

Nhân $1$ với $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 y}$

Bước 1.6.2.3.3.2

Nhân $6$ với $2$ .

$y' = \frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$

Bước 1.6.2.3.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8

Tính giá trị tại $x = 16$ và $y = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Thay thế biến $x$ bằng $16$ trong biểu thức.

$\frac{1}{12 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.2

Thay thế biến $y$ bằng $3$ trong biểu thức.

$\frac{1}{12 (3) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.3

Nhân $12$ với $3$ .

$\frac{1}{36 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.4.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{1}{36 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.8.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.8.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.8.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{1}}$

Bước 1.8.4.4

Tính số mũ.

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

Bước 1.8.5

Nhân $36$ với $4$ .

$\frac{1}{144}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{1}{144}$ và một điểm đã cho $(16, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{144} \cdot (x - (16))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{1}{144} \cdot (x - 16)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 3 = \frac{1}{144} x + \frac{1}{144} \cdot - 16$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{144}$ và $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{144} \cdot - 16$

Bước 2.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Đưa $16$ ra ngoài $144$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 (9)} \cdot - 16$

Bước 2.3.1.5.2

Đưa $16$ ra ngoài $- 16$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{9} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.6

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $- 1$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{- 1}{9}$

Bước 2.3.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - 3 = \frac{x}{144} - \frac{1}{9}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3$

Bước 2.3.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 3 \cdot 9}{9}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $3$ với $9$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 27}{9}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $- 1$ và $27$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{26}{9}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{144} x + \frac{26}{9}$

Bước 3