Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ ; $(- 1, - \frac{3}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = - \frac{3}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.5

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.6

Kết hợp $\frac{- 6}{2}$ và $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.7.2.4

Chia $- 3 x$ cho $1$ .

$- 3 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$- 3 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 x + 4 + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $- 3 x + 4$ và $0$ .

$- 3 x + 4$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = - 1$ .

$- 3 \cdot - 1 + 4$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$3 + 4$

Bước 1.6.2

Cộng $3$ và $4$ .

$7$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $7$ và một điểm đã cho $(- 1, - \frac{3}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{3}{2}) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $7 \cdot (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y + \frac{3}{2} = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7 \cdot 1$

Bước 2.3.1.4

Nhân $7$ với $1$ .

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $\frac{3}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = 7 x + 7 - \frac{3}{2}$

Bước 2.3.2.2

Để viết $7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + 7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $7$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2 - 3}{2}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $7$ với $2$ .

$y = 7 x + \frac{14 - 3}{2}$

Bước 2.3.2.5.2

Trừ $3$ khỏi $14$ .

$y = 7 x + \frac{11}{2}$

Bước 3