Giải tích Ví dụ

$g (x) = \frac{4 x}{x - 3}$ at $(5, 10)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 5$ và $y = 10$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x}{x - 3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $x - 3$ với $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$4 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.4.1

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$4 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Bước 1.3.6.4.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.5

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.6.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\frac{- 12}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = 5$ .

$- \frac{12}{{((5) - 3)}^{2}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$- \frac{12}{2^{2}}$

Bước 1.5.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{12}{4}$

Bước 1.5.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Chia $12$ cho $4$ .

$- 1 \cdot 3$

Bước 1.5.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- 3$ và một điểm đã cho $(5, 10)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (10) = - 3 \cdot (x - (5))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 10 = - 3 \cdot (x - 5)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- 3 \cdot (x - 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 10 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 5)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 10 = - 3 \cdot (x - 5)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 10 = - 3 x - 3 \cdot - 5$

Bước 2.3.1.4

Nhân $- 3$ với $- 5$ .

$y - 10 = - 3 x + 15$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $10$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - 3 x + 15 + 10$

Bước 2.3.2.2

Cộng $15$ và $10$ .

$y = - 3 x + 25$

Bước 3