Giải tích Ví dụ

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = \frac{1}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $1 + 11 x^{2}$ với $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 11 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.3.6

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11 x^{2}$ đối với $x$ là $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.3.7

Nhân $11$ với $- 1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.3.9

Nhân $2$ với $- 11$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.8

Trừ $22 x^{2}$ khỏi $11 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.9

Kết hợp $6$ và $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.2.1

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.10.2.2

Nhân $- 11$ với $6$ .

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Bước 1.10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.11

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.1.2

Nhân $- 66$ với $1$ .

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.1.3

Cộng $- 66$ và $6$ .

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.2.2

Nhân $11$ với $1$ .

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.2.3

Cộng $11$ và $1$ .

$\frac{- 60}{12^{2}}$

Bước 1.12.2.4

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 60}{144}$

Bước 1.12.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 60$ và $144$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1.1

Đưa $12$ ra ngoài $- 60$ .

$\frac{12 (- 5)}{144}$

Bước 1.12.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $144$ .

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Bước 1.12.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Bước 1.12.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5}{12}$

Bước 1.12.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{12}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{5}{12}$ và một điểm đã cho $(1, \frac{1}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{5}{12}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

Bước 2.3.1.5.2

Nhân $\frac{5}{12}$ với $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $\frac{1}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2.2

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Bước 2.3.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

Bước 2.3.2.3.2

Nhân $2$ với $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

Bước 2.3.2.5

Cộng $5$ và $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

Bước 3