Giải tích Ví dụ

$f (x) = - 2 - \cos (x)$ at $x = - \frac{π}{4}$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $- \frac{π}{4}$ vào cho $x$ .

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$y = - 2 - \cos (\frac{7 π}{4})$

Bước 1.2.2.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$y = - 2 - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.2.2.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - \frac{π}{4}$ và $y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 2.1.2

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Bước 2.2.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$0 + \sin (x)$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Bước 2.4

Tính đạo hàm tại $x = - \frac{π}{4}$ .

$\sin (- \frac{π}{4})$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\sin (\frac{7 π}{4})$

Bước 2.5.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \sin (\frac{π}{4})$

Bước 2.5.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ và một điểm đã cho $(- \frac{π}{4}, - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Bước 3.3.1.5

Nhân $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.5.2

Nhân $4$ với $2$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8}$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2$

Bước 3.3.2.2

Trừ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.3.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.3.4

Nhân $- 2$ với $8$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.3.5

Để viết $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 3.3.3.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.6.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Bước 3.3.3.6.2

Nhân $2$ với $4$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Bước 3.3.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Bước 3.3.3.8

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

Bước 3.3.3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- π \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

Bước 3.3.3.10

Viết lại $- 16$ ở dạng $- 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 1 (16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

Bước 3.3.3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (π \sqrt{2}) - 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

Bước 3.3.3.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})}{8}$

Bước 3.3.3.13

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

Bước 3.3.3.14

Viết lại $- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ ở dạng $- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

Bước 3.3.3.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Bước 3.3.3.16

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{\sqrt{2}}{2} x) - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Bước 3.3.3.17

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Bước 4