Giải tích Ví dụ

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $2$ vào cho $x$ .

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Bước 1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Bước 1.2.3

Rút gọn $(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Bước 1.2.3.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

Bước 1.2.3.2.2

Cộng $- 4$ và $5$ .

$y = 2 \cdot 1^{8}$

Bước 1.2.3.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = 2 \cdot 1$

Bước 1.2.3.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$y = 2$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 2$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{8}$ và $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 4 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.5

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.6

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.7

Cộng $2 x - 4$ và $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

Bước 2.3.9

Nhân ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ với $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Bước 2.4

Đưa ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ ra ngoài $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ ra ngoài $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Bước 2.4.2

Đưa ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ ra ngoài ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

Bước 2.4.3

Đưa ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ ra ngoài ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

Bước 2.5

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Bước 2.6.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Bước 2.6.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Trừ $8$ khỏi $4$ .

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Bước 2.6.2.2

Cộng $- 4$ và $5$ .

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Bước 2.6.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Bước 2.6.2.4

Nhân $(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ với $1$ .

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Bước 2.6.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Bước 2.6.3.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Bước 2.6.3.3

Nhân $2 (8 \cdot 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.3.1

Nhân $8$ với $0$ .

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Bước 2.6.3.3.2

Nhân $2$ với $0$ .

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Bước 2.6.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

Bước 2.6.3.5

Nhân $- 4$ với $2$ .

$0 + 4 - 8 + 5$

Bước 2.6.4

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Cộng $0$ và $4$ .

$4 - 8 + 5$

Bước 2.6.4.2

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$- 4 + 5$

Bước 2.6.4.3

Cộng $- 4$ và $5$ .

$1$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $1$ và một điểm đã cho $(2, 2)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $x - 2$ với $1$ .

$y - 2 = x - 2$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = x - 2 + 2$

Bước 3.3.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$y = x + 0$

Bước 3.3.2.2.2

Cộng $x$ và $0$ .

$y = x$

Bước 4