Giải tích Ví dụ

$y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(- 1, - 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = - 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $x^{2} + 1$ với $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.8

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.9

Kết hợp $2$ và $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.10.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.11

Tính đạo hàm tại $x = - 1$ .

$\frac{- 2 {(- 1)}^{2} + 2}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 2}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{- 2 + 2}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.1.3

Cộng $- 2$ và $2$ .

$\frac{0}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{0}{2^{2}}$

Bước 1.12.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{0}{4}$

Bước 1.12.3

Chia $0$ cho $4$ .

$0$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $0$ và một điểm đã cho $(- 1, - 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 0 \cdot (x - (- 1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 1 = 0 \cdot (x + 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $0$ với $x + 1$ .

$y + 1 = 0$

Bước 2.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - 1$

Bước 3