Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$ ; $x = - 1$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $- 1$ vào cho $x$ .

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{1}{- 1 - 3}$

Bước 1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Bước 1.2.3

Rút gọn $\frac{1}{(- 1) - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$y = \frac{1}{- 4}$

Bước 1.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1}{4}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = - \frac{1}{4}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\frac{1}{x - 3}$ ở dạng ${(x - 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{- 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 3$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.3.3

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Bước 2.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \cdot 1$

Bước 2.3.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2}$

Bước 2.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 2.5

Tính đạo hàm tại $x = - 1$ .

$- \frac{1}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{1}{{(- 4)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{1}{16}$ và một điểm đã cho $(- 1, - \frac{1}{4})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (- 1))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $- \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y + \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot 1$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{16}$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1$

Bước 3.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16}$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Trừ $\frac{1}{4}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4}$

Bước 3.3.2.2

Để viết $- \frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 3.3.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $16$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Bước 3.3.2.3.2

Nhân $4$ với $4$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{16}$

Bước 3.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 1 - 4}{16}$

Bước 3.3.2.5

Trừ $4$ khỏi $- 1$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 5}{16}$

Bước 3.3.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{5}{16}$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{1}{16} x) - \frac{5}{16}$

Bước 3.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{1}{16} x - \frac{5}{16}$

Bước 4