Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{1 - 3 x}$ , $(- 1, 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = 2$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - 3 x}$ ở dạng ${(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 3 x$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(1 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.7.3

Di chuyển ${(1 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]$

Bước 1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 1.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 1.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 1.11

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.12.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Bước 1.14

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{3}{2 {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.15

Tính đạo hàm tại $x = - 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1 - 3 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1.1

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1 + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.16.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.16.1.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.16.1.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.16.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.16.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3}{2 \cdot 2^{1}}$

Bước 1.16.1.6

Tính số mũ.

$- \frac{3}{2 \cdot 2}$

Bước 1.16.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{3}{4}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{3}{4}$ và một điểm đã cho $(- 1, 2)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{3}{4} \cdot (x - (- 1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 2 = - \frac{3}{4} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{3}{4} \cdot (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{3}{4} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 2 = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot 1$

Bước 2.3.1.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{4}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1$

Bước 2.3.1.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4}$

Bước 2.3.1.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - 2 = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2$

Bước 2.3.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $2$ với $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 8}{4}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $- 3$ và $8$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{5}{4}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{3}{4} x) + \frac{5}{4}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$

Bước 3