Giải tích Ví dụ

$g (x) = 3 e^{- 5 x}$ at the point $(0, 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{- 5 x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 5 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 5 x$ .

$3 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.2

Nhân $- 5$ với $3$ .

$- 15 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 15 e^{- 5 x} \cdot 1$

Bước 1.3.4

Nhân $- 15$ với $1$ .

$- 15 e^{- 5 x}$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$- 15 e^{- 5 \cdot 0}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 5$ với $0$ .

$- 15 e^{0}$

Bước 1.5.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 15 \cdot 1$

Bước 1.5.3

Nhân $- 15$ với $1$ .

$- 15$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- 15$ và một điểm đã cho $(0, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - 15 \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = - 15 \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - 3 = - 15 x$

Bước 2.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - 15 x + 3$

Bước 3