Giải tích Ví dụ

$y = \frac{2 x}{x - 1}$ at $(- 1, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{x - 1}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$2 \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$2 \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$2 \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.4.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$2 \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

Bước 1.3.6.4.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = - 1$ .

$- \frac{2}{{((- 1) - 1)}^{2}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Bước 1.5.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{1}{2}$ và một điểm đã cho $(- 1, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (- 1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 1$

Bước 2.3.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 2}{2}$

Bước 2.3.2.4

Cộng $- 1$ và $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Bước 3