Giải tích Ví dụ

$2 x y - 2 x + y = - 14$ ; $(2, - 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = - 2$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 x y - 2 x + y) = \frac{d}{d x} (- 14)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y - 2 x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x y' + y) - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x y' + y) - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2 (x y' + y) - 2 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (x y' + y) - 2 + y'$

Bước 1.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x y' + 2 y - 2 + y'$

Bước 1.3

Vì $- 14$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 14$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 x y' + 2 y - 2 + y' = 0$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x y' - 2 + y' = - 2 y$

Bước 1.5.1.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x y' + y' = - 2 y + 2$

Bước 1.5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 x y' + y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $2 x y'$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Bước 1.5.2.2

Nâng $y'$ lên lũy thừa $1$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Bước 1.5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' (2 x) + y' \cdot 1 = - 2 y + 2$

Bước 1.5.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (2 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$

Bước 1.5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ cho $2 x + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ cho $2 x + 1$ .

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 2 y + 2}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2 (1)}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- y) + 2 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- y + 1)}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{2 (- (y) + 1)}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.3.4

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y) - 1 (- 1))}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y - 1))}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.6.1

Viết lại $- (y - 1)$ ở dạng $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (y - 1))}{2 x + 1}$

Bước 1.5.3.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 2$ và $y = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$- \frac{2 (y - 1)}{2 (2) + 1}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$- \frac{2 ((- 2) - 1)}{2 (2) + 1}$

Bước 1.7.3

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 (2) + 1}$

Bước 1.7.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{4 + 1}$

Bước 1.7.4.2

Cộng $4$ và $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{5}$

Bước 1.7.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.1

Nhân $2$ với $- 3$ .

$- \frac{- 6}{5}$

Bước 1.7.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{6}{5}$

Bước 1.7.6

Nhân $- - \frac{6}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{6}{5})$

Bước 1.7.6.2

Nhân $\frac{6}{5}$ với $1$ .

$\frac{6}{5}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{6}{5}$ và một điểm đã cho $(2, - 2)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = \frac{6}{5} \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{6}{5} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + 2 = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{6}{5}$ và $x$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.5

Nhân $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Kết hợp $\frac{6}{5}$ và $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 2}{5}$

Bước 2.3.1.5.2

Nhân $6$ với $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12}{5}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + 2 = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2$

Bước 2.3.2.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 2 \cdot 5}{5}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $- 2$ với $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 10}{5}$

Bước 2.3.2.5.2

Trừ $10$ khỏi $- 12$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 22}{5}$

Bước 2.3.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{22}{5}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{22}{5}$

Bước 3