Giải tích Ví dụ

$y = {(x^{3} - 25 x)}^{14}$ at the point $(5, 0)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 5$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{14}$ và $g (x) = x^{3} - 25 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} - 25 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{14}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 25 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 14$ .

$14 u^{13} \frac{d}{d x} [x^{3} - 25 x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} - 25 x$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} \frac{d}{d x} [x^{3} - 25 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 25 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 25 x])$

Bước 1.2.3

Vì $- 25$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 25 x$ đối với $x$ là $- 25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (3 x^{2} - 25 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (3 x^{2} - 25 \cdot 1)$

Bước 1.2.5

Nhân $- 25$ với $1$ .

$14 {(x^{3} - 25 x)}^{13} (3 x^{2} - 25)$

Bước 1.3

Tính đạo hàm tại $x = 5$ .

$14 {({(5)}^{3} - 25 \cdot 5)}^{13} (3 {(5)}^{2} - 25)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$14 {(125 - 25 \cdot 5)}^{13} (3 {(5)}^{2} - 25)$

Bước 1.4.1.2

Nhân $- 25$ với $5$ .

$14 {(125 - 125)}^{13} (3 {(5)}^{2} - 25)$

Bước 1.4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Trừ $125$ khỏi $125$ .

$14 \cdot 0^{13} (3 {(5)}^{2} - 25)$

Bước 1.4.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$14 \cdot 0 (3 {(5)}^{2} - 25)$

Bước 1.4.2.3

Nhân $14$ với $0$ .

$0 (3 {(5)}^{2} - 25)$

Bước 1.4.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$0 (3 \cdot 25 - 25)$

Bước 1.4.3.2

Nhân $3$ với $25$ .

$0 (75 - 25)$

Bước 1.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Trừ $25$ khỏi $75$ .

$0 \cdot 50$

Bước 1.4.4.2

Nhân $0$ với $50$ .

$0$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $0$ và một điểm đã cho $(5, 0)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (5))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 0 = 0 \cdot (x - 5)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y = 0 \cdot (x - 5)$

Bước 2.3.2

Nhân $0$ với $x - 5$ .

$y = 0$

Bước 3