Giải tích Ví dụ

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, 2 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{6}$ và $y = 2 (\frac{\sqrt{3}}{3})$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{6}$ .

$\sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{6})$ là $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.4

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 1.3.5

Nhân $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ với $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Bước 1.3.5.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Bước 1.3.5.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Bước 1.3.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Bước 1.3.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Bước 1.3.5.6

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Bước 1.3.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Bước 1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Bước 1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Bước 1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Bước 1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cdot 3^{1}}{9}$

Bước 1.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{2 \cdot 3}{9}$

Bước 1.3.7

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6}{9}$

Bước 1.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Bước 1.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Bước 1.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Bước 1.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{2}{3}$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{6}, 2 (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 (\frac{\sqrt{3}}{3})) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Bước 2.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{6}$ vào tử số.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Bước 2.3.1.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Bước 2.3.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Bước 2.3.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Bước 2.3.1.6

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{- π}{3}$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{3 \cdot 3}$

Bước 2.3.1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.7.1

Nhân $3$ với $3$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{9}$

Bước 2.3.1.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9}$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để viết $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 2.3.3.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Bước 2.3.3.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Bước 2.3.3.4

Nhân $3$ với $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 6 \sqrt{3}}{9}$

Bước 2.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- π$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) + 6 \sqrt{3}}{9}$

Bước 2.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $6 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) - (- 6 \sqrt{3})}{9}$

Bước 2.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (π) - (- 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Bước 2.3.3.8

Viết lại $- (π - 6 \sqrt{3})$ ở dạng $- 1 (π - 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Bước 2.3.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Bước 2.3.3.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Bước 3