Giải tích Ví dụ

$y = e^{3 x}$ at $x = \frac{1}{3} \ln (2)$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $\frac{1}{3} \cdot \ln (2)$ vào cho $x$ .

$y = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (2))}$

Bước 1.2

Rút gọn $e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (2))}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (2)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$y = e^{3 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Bước 1.2.2

Rút gọn $3 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$y = e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Bước 1.2.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$y = {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 1.2.4

Nhân các số mũ trong ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 1.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 1.2.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2^{1}$

Bước 1.2.5

Tính số mũ.

$y = 2$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{1}{3} \ln (2)$ và $y = 2$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1)$

Bước 2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3$

Bước 2.2.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x}$

Bước 2.3

Tính đạo hàm tại $x = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$ .

$3 e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (2))}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (2)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$3 e^{3 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Bước 2.4.2

Rút gọn $3 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$3 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Bước 2.4.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$3 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 2.4.4

Nhân các số mũ trong ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 2.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 2.4.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 \cdot 2^{1}$

Bước 2.4.5

Tính số mũ.

$3 \cdot 2$

Bước 2.4.6

Nhân $3$ với $2$ .

$6$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $6$ và một điểm đã cho $(\frac{1}{3} \cdot \ln (2), 2)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 6 \cdot (x - (\frac{1}{3} \cdot \ln (2)))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 2 = 6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - 2 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 2 = 6 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 2 = 6 x + 6 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$

Bước 3.3.1.4

Nhân $6 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1

Nhân $- 1$ với $6$ .

$y - 2 = 6 x - 6 \ln (2^{\frac{1}{3}})$

Bước 3.3.1.4.2

Rút gọn $- 6 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ bằng cách di chuyển $6$ trong logarit.

$y - 2 = 6 x - \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{6})$

Bước 3.3.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Nhân các số mũ trong ${(2^{\frac{1}{3}})}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{\frac{1}{3} \cdot 6})$

Bước 3.3.1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{\frac{1}{3} \cdot (3 (2))})$

Bước 3.3.1.5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)})$

Bước 3.3.1.5.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y - 2 = 6 x - \ln (2^{2})$

Bước 3.3.1.5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y - 2 = 6 x - \ln (4)$

Bước 3.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 6 x - \ln (4) + 2$

Bước 4