Giải tích Ví dụ

$y = \sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ , $(0, 0)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Bước 1.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 x$ .

$\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Bước 1.2.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Bước 1.2.4

Nhân $7$ với $1$ .

$\cos (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Bước 1.2.5

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (7 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Bước 1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$7 \cos (7 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 1.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\cos (u_{3})$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 1.3.3

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \cdot 1))$

Bước 1.3.5

Nhân $7$ với $1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \cdot 7)$

Bước 1.3.6

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (7 \cdot \cos (7 x))$

Bước 1.3.7

Nhân $7$ với $2$ .

$7 \cos (7 x) + 14 \sin (7 x) \cos (7 x)$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$14 \cos (7 x) \sin (7 x) + 7 \cos (7 x)$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$14 \cos (7 (0)) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Nhân $7$ với $0$ .

$14 \cos (0) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Bước 1.6.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$14 \cdot 1 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Bước 1.6.1.3

Nhân $14$ với $1$ .

$14 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Bước 1.6.1.4

Nhân $7$ với $0$ .

$14 \sin (0) + 7 \cos (7 (0))$

Bước 1.6.1.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$14 \cdot 0 + 7 \cos (7 (0))$

Bước 1.6.1.6

Nhân $14$ với $0$ .

$0 + 7 \cos (7 (0))$

Bước 1.6.1.7

Nhân $7$ với $0$ .

$0 + 7 \cos (0)$

Bước 1.6.1.8

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Bước 1.6.1.9

Nhân $7$ với $1$ .

$0 + 7$

Bước 1.6.2

Cộng $0$ và $7$ .

$7$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $7$ và một điểm đã cho $(0, 0)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 7 \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 0 = 7 \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y = 7 \cdot (x + 0)$

Bước 2.3.2

Cộng $x$ và $0$ .

$y = 7 x$

Bước 3