Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 \sqrt{x}$ at $(4, 6)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = 6$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 1.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.10

Kết hợp $3$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.12

Tính đạo hàm tại $x = 4$ .

$\frac{3}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.13.1.2

Nhân các số mũ trong ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.13.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.13.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{1}}$

Bước 1.13.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3}{2^{1 + 1}}$

Bước 1.13.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3}{2^{2}}$

Bước 1.13.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3}{4}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{3}{4}$ và một điểm đã cho $(4, 6)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 6 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 6 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Bước 2.3.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$y - 6 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

Bước 2.3.1.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y - 6 = \frac{3 x}{4} - 3$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 6$

Bước 2.3.2.2

Cộng $- 3$ và $6$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 3$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{3}{4} x + 3$

Bước 3