Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(5 x + 1)}^{2}$ ở dạng $(5 x + 1) (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

Bước 1.2

Khai triển $(5 x + 1) (5 x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Bước 1.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Bước 1.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Bước 1.3.1.3

Nhân $5$ với $5$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Bước 1.3.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Bước 1.3.1.5

Nhân $5 x$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

Bước 1.3.1.6

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

Bước 1.3.2

Cộng $5 x$ và $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

Bước 1.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $25 x^{2} + 10 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.5

Vì $25$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $25 x^{2}$ đối với $x$ là $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.7

Nhân $2$ với $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.8

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.10

Nhân $10$ với $1$ .

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.11

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$50 x + 10 + 0$

Bước 1.12

Cộng $50 x + 10$ và $0$ .

$50 x + 10$

Bước 1.13

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$50 (0) + 10$

Bước 1.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.14.1

Nhân $50$ với $0$ .

$0 + 10$

Bước 1.14.2

Cộng $0$ và $10$ .

$10$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $10$ và một điểm đã cho $(0, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - 1 = 10 x$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 10 x + 1$

Bước 3