Giải tích Ví dụ

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 20$ , $(3, 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 3$ và $y = 4$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (20)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

Bước 1.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

Bước 1.2.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

Bước 1.2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

Bước 1.3

Vì $20$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $20$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

Bước 1.5.1.2

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

Bước 1.5.1.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Bước 1.5.2

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 x y' - 2 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Bước 1.5.2.2

Đưa $2 y'$ ra ngoài $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

Bước 1.5.2.3

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

Bước 1.5.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ cho $2 (x - y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ cho $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.3

Để viết $\frac{- x - y}{x - y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x - y) \cdot 2$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.4.1

Nhân $\frac{- x - y}{x - y}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.6.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.7.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.7.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.7.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.7.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.7.6.1

Viết lại $- (2 x + 2 y + 1)$ ở dạng $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Bước 1.5.3.3.7.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 3$ và $y = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$- \frac{2 (3) + 2 y + 1}{2 ((3) - y)}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $4$ trong biểu thức.

$- \frac{2 (3) + 2 (4) + 1}{2 ((3) - (4))}$

Bước 1.7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{6 + 2 (4) + 1}{2 (3 - (4))}$

Bước 1.7.3.2

Nhân $2$ với $4$ .

$- \frac{6 + 8 + 1}{2 (3 - (4))}$

Bước 1.7.3.3

Cộng $6$ và $8$ .

$- \frac{14 + 1}{2 (3 - (4))}$

Bước 1.7.3.4

Cộng $14$ và $1$ .

$- \frac{15}{2 (3 - (4))}$

Bước 1.7.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- \frac{15}{2 (3 - 4)}$

Bước 1.7.4.2

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$- \frac{15}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.7.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{15}{- 2}$

Bước 1.7.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{15}{2}$

Bước 1.7.6

Nhân $- - \frac{15}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{15}{2})$

Bước 1.7.6.2

Nhân $\frac{15}{2}$ với $1$ .

$\frac{15}{2}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{15}{2}$ và một điểm đã cho $(3, 4)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{15}{2} \cdot (x - (3))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 4 = \frac{15}{2} \cdot (x - 3)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{15}{2} \cdot (x - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x - 3)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 4 = \frac{15}{2} \cdot (x - 3)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 4 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot - 3$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{15}{2}$ và $x$ .

$y - 4 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot - 3$

Bước 2.3.1.5

Nhân $\frac{15}{2} \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Kết hợp $\frac{15}{2}$ và $- 3$ .

$y - 4 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot - 3}{2}$

Bước 2.3.1.5.2

Nhân $15$ với $- 3$ .

$y - 4 = \frac{15 x}{2} + \frac{- 45}{2}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - 4 = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2} + 4$

Bước 2.3.2.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{- 45 + 4 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $4$ với $2$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{- 45 + 8}{2}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $- 45$ và $8$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{- 37}{2}$

Bước 2.3.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{37}{2}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{15}{2} x - \frac{37}{2}$

Bước 3