Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $π$ vào cho $x$ .

$y = (π) \sin (10 (π))$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $10$ với $π$ .

$y = π \sin (10 π)$

Bước 1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = (π) \sin (10 (π))$

Bước 1.2.3

Rút gọn $(π) \sin (10 (π))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$y = π \sin (0)$

Bước 1.2.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$y = π \cdot 0$

Bước 1.2.3.3

Nhân $π$ với $0$ .

$y = 0$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = π$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (10 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 10 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $10 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $10 x$ .

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $10$ với $1$ .

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $\cos (10 x)$ .

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân $\sin (10 x)$ với $1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

Bước 2.3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

Bước 2.4

Tính đạo hàm tại $x = π$ .

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

Bước 2.5.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

Bước 2.5.1.3

Nhân $10$ với $1$ .

$10 π + \sin (10 (π))$

Bước 2.5.1.4

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$10 π + \sin (0)$

Bước 2.5.1.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$10 π + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $10 π$ và $0$ .

$10 π$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $10 π$ và một điểm đã cho $(π, 0)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y = 10 π \cdot (x - π)$

Bước 3.3.2

Rút gọn $10 π \cdot (x - π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

Bước 3.3.2.2

Nhân $10 π (- π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Nhân $- 1$ với $10$ .

$y = 10 π x - 10 π π$

Bước 3.3.2.2.2

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

Bước 3.3.2.2.3

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

Bước 3.3.2.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

Bước 3.3.2.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

Bước 4