Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(2, \frac{1}{16})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = \frac{1}{16}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2 x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Bước 1.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Bước 1.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{- 3}{2}$ và $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Bước 1.4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

Bước 1.4.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(2)}^{4}}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $2$ với ${(2)}^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Nhân $2$ với ${(2)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{3}{2^{1} {(2)}^{4}}$

Bước 1.6.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{3}{2^{1 + 4}}$

Bước 1.6.1.2

Cộng $1$ và $4$ .

$- \frac{3}{2^{5}}$

Bước 1.6.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$- \frac{3}{32}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{3}{32}$ và một điểm đã cho $(2, \frac{1}{16})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{16}) = - \frac{3}{32} \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{3}{32} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{1}{16} = 0 + 0 - \frac{3}{32} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} x - \frac{3}{32} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{32}$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} - \frac{3}{32} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{32}$ vào tử số.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{32} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.2.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $32$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 (16)} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.2.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 \cdot 16} \cdot (2 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 \cdot 16} \cdot (2 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.2.3.5

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{16} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.2.4

Kết hợp $\frac{- 3}{16}$ và $- 1$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3 \cdot - 1}{16}$

Bước 2.3.1.2.5

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{3}{16}$

Bước 2.3.1.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{3 x}{32} + \frac{3}{16}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $\frac{1}{16}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{3}{16} + \frac{1}{16}$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{3 + 1}{16}$

Bước 2.3.2.3

Cộng $3$ và $1$ .

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{4}{16}$

Bước 2.3.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4}{16}$

Bước 2.3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 (1)}{16}$

Bước 2.3.2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.4.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Bước 2.3.2.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Bước 2.3.2.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{1}{4}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{3}{32} x) + \frac{1}{4}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{3}{32} x + \frac{1}{4}$

Bước 3